作业帮已知ab为实数且a>0,b>0.求(5-2a)^2+4b^2+(a-b)^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/18 03:31:12
已知ab为实数且a>0,b>0.求(5-2a)^2+4b^2+(a-b)^2的最小值
已知ab为实数且a>0,b>0.求(5-2a)^2+4b^2+(a-b)^2的最小值
已知ab为实数且a>0,b>0.求(5-2a)^2+4b^2+(a-b)^2的最小值
运用柯西不等式：
【(5-2a)^2+4b^2+(a-b)^2】*【1^2+1^2+2^2】
≥【5-2a+2b+2a-2b】^2=25
所以,(5-2a)^2+4b^2+(a-b)^2≥25/6
附：柯西不等式简介：
（a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn)^2
证明方法：向量法最简单
令An=(a1,a2,a3,.an)
Bn=(b1,b2,b3,.bn)
lAn Bnl>=AnBn, lAn Bnl^2>=(AnBn)^2
即
（a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn)^2
因为都有平方 所以比如 x^2 则 x^2>=0
所以尽可能的都为零
则 拆开
5a^2-20a+5b^2-2ab+25
先配2ab
则（a/√5-√5/b）^2
则 24a^2/5-20a+25+（a/√5-√...
全部展开
因为都有平方 所以比如 x^2 则 x^2>=0
所以尽可能的都为零
则 拆开
5a^2-20a+5b^2-2ab+25
先配2ab
则（a/√5-√5/b）^2
则 24a^2/5-20a+25+（a/√5-√5/b）^2
2(2√12a/5-5√15/6）^2+（a/√5-√5b）^2+25-125/6
令a=25/12 b=5/12
则得最小 25-125/6=25/6
最小值为25/6
收起