作业帮线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）}线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 证明：r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）} （r表示秩）后半部分可以不用
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:34:44
线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）}线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 证明：r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）} （r表示秩）后半部分可以不用
线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）}
线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵
证明：r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）} （r表示秩）
后半部分可以不用证明。
一楼的回答似乎没有说到要领，二楼的回答不够具体——（1）表示r（AB）+p （3）表示r（A）+r（B）？
如何考察呢？请明示~
线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）}线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 证明：r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A）,r（B）} （r表示秩）后半部分可以不用
将A进行列分块为(a1,a2,a3,...ap),于是AB=b11a1+b21a2+...bp1ap+b12a1+b22a2+...+...+bpnap
所以AB可以由A的p个向量组线性线性表示,即r(AB)=r(B')-r(B'2)=r(B)-r(B'2)
而r(B'2)不大于其行数p-r(A)
所以r(AB)>=r(B)-p+r(A)
前半部分：考察以下矩阵
(1)
I 0
0 AB
(2)
I B
A 0
(3)
0 B
A 0
的秩即可。
后半部分只要知道r(A)=dim(Im(A))即可。
补充：
对，（1）表示r（AB）+p （3）表示r（A）+r（B）；
（1）可以通过线性变换变到（2），（2）的秩不小于...
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前半部分：考察以下矩阵
(1)
I 0
0 AB
(2)
I B
A 0
(3)
0 B
A 0
的秩即可。
后半部分只要知道r(A)=dim(Im(A))即可。
补充：
对，（1）表示r（AB）+p （3）表示r（A）+r（B）；
（1）可以通过线性变换变到（2），（2）的秩不小于（3）的秩(因为[I B]满秩，但[0 B]未必)。
注：
既然已经给你提示了，就应该自己再动一下脑筋，不应该等现成答案。
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这是秩的基本定理啊！怎么证明？除非把A和B都展开；即列出：
A=[a11,a12,a13....a1p;a21,a22....;....;ar1,ar2....arp;0,0,0,....,0,0,...0]
B也同样，可以很方便地证得：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，
而前面一个r(A)+r(B)-p≤r(AB)的证明就比较复杂了，这里实在书写起来不方便，线性代...
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这是秩的基本定理啊！怎么证明？除非把A和B都展开；即列出：
A=[a11,a12,a13....a1p;a21,a22....;....;ar1,ar2....arp;0,0,0,....,0,0,...0]
B也同样，可以很方便地证得：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，
而前面一个r(A)+r(B)-p≤r(AB)的证明就比较复杂了，这里实在书写起来不方便，线性代数的课本里找找吧。
想过用其它定理来证明，但发现其实是用了这个定理的推论再去证明这个定理本身，这不是本末倒置了吗？
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