作业帮在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 05:29:53
在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
设y=(tanx)^2,x属于(0,π/2)
y''=2(secx)^4(2-cos2x)>0,
所以y=(tanx)^2,在(0,π/2)上是个下凸函数,
由琴生不等式得到：
y(A/2)+y(B/2)+y(C/2)>=3y[(A/2+B/2+C/2)/3]=3y(π/6)
即
tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)>=3[tan(π/6)]^2=1
对琴生不等式的可以用下面的方法
先证明一三角恒等式：
A+B+C＝π
→(A+B)/2＝π/2-C/2
→[tan(A/2)+tan(B/2)]/[1-tan(A/2)tan(B/2)]＝1/tan(C/2)
→tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)＝1.
为方便表达,上式设
m＝tan(A/2),n＝tan(B/2),p＝tan(C/2)
则mn+np+pm＝1.
∴m^2+n^2+p^2
＝(1/2)·[(m^2+n^2)+(n^2+p^2)+(p^2+m^2)]
≥(1/2)·(2mn+2np+2pm)（均值不等式）
＝mn+np+pm
＝1,
即[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2≥1,
上式取等时,得所求最小值为：1,
此时易得A＝B＝C＝π/3,即ABC为正三角形.
tan²(A/2)+tan²(B/2)+tan²(C/2)
=sin²(A/2)/cos²(A/2) + sin²(B/2)/cos²(B/2)+ sin²(C/2)/cos²(C/2)
=2sin²(A/2)/2cos²(A/2) + 2sin²(B/...
全部展开
tan²(A/2)+tan²(B/2)+tan²(C/2)
=sin²(A/2)/cos²(A/2) + sin²(B/2)/cos²(B/2)+ sin²(C/2)/cos²(C/2)
=2sin²(A/2)/2cos²(A/2) + 2sin²(B/2)/2cos²(B/2)+ 2sin²(C/2)/2cos²(C/2)
=(1-cosA)/(1+cosA)+ (1-cosB)/(1+cosB)+(1-cosC)/(1+cosC)
=(2-cosA-1)/(1+cosA)+(2-cosB-1)/(1+cosB)+(2-cosC-1)/(1+cosC)
=2/(1+cosA)+ 2/(1+cosB)+2/(1+cosC) -3
A、B、C均为三角形内角，1+cosA>0 1+cosB>0 1+cosC>0
2/(1+cosA)、2/(1+cosB)、2/(1+cosC)均>0
由均值不等式得：当2/(1+cosA)=2/(1+cosB)=2/(1+cosC)时，2/(1+cosA)+ 2/(1+cosB)+2/(1+cosC)
取得最小值。此时
cosA=cosB=cosC
A=B=C=π/3 cosA=cosB=cosC=1/2
2/(1+1/2)+ 2/(1+1/2)+2/(1+1/2) -3=1
tan²(A/2)+tan²(B/2)+tan²(C/2)的最小值为1。
提示：三角恒等变形+均值不等式
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