已知a,b偶是正实数,且ab=2,求证(1+2a)(1+b)>=9

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 19:41:50
已知a,b偶是正实数,且ab=2,求证(1+2a)(1+b)>=9

已知a,b偶是正实数,且ab=2,求证(1+2a)(1+b)>=9
已知a,b偶是正实数,且ab=2,求证(1+2a)(1+b)>=9

已知a,b偶是正实数,且ab=2,求证(1+2a)(1+b)>=9
【1】
∵a是正数.
∴由均值不等式可知
2a+(2/a)≥2√[2a(2/a)]=4.
即有 2a+(2/a)≥4.
等号仅当a=1时取得.
∴当a>0时,恒有
2a+(2/a)≥4
【2】
∵ab=2.且a>0,b>0
∴b=2/a
∴(1+2a)(1+b)
=1+b+2a+2ab
=5+2a+(2/a)≥5+4=9
即有(1+2a)(1+b)≥9.