作业帮在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,侧面PBC⊥底面ABCD,PD=AD=5,AB=2,CD=1,PA=3.求证 侧面PAD和侧面PBC所夹角的正弦为三分之二求这个四棱锥体积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:38:37
在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,侧面PBC⊥底面ABCD,PD=AD=5,AB=2,CD=1,PA=3.求证 侧面PAD和侧面PBC所夹角的正弦为三分之二求这个四棱锥体积
在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,侧面PBC⊥底面ABCD,PD=AD=5,AB=2,CD=1,PA=3.
求证 侧面PAD和侧面PBC所夹角的正弦为三分之二
求这个四棱锥体积
在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,侧面PBC⊥底面ABCD,PD=AD=5,AB=2,CD=1,PA=3.求证 侧面PAD和侧面PBC所夹角的正弦为三分之二求这个四棱锥体积
1、PD=AD=5,AB=2,CD=1,PA=3,
∵CD⊥BC,平面PBC⊥平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,
又CD‖AB,AB⊥平面PBC,
PC∈平面PBC,PB∈平面PBC,
CD⊥PC,AP⊥PB,
根据勾股定理,PC=2√6,PB=√5,
作DE⊥AB,交AB于E,则BE=CD=1,EA=1,E为AB中点,取PA中点F,连结EF,DF,DE,
DE=√（AD^2-AE^2）=2√6,
EF为三角形ABP中位线,EF‖PB,且EF=PB/2=√5/2,DE‖BC,且PB∩BC=B,
EF∩DE=E,
∴平面PBC‖平面DFE,平面PFE与平面PAD的成角就是平面PBC与平面PAD的成角,
AE⊥EF,AE⊥DE,DE∩EF=E,
∴AE⊥平面DEF,
DF=√（AD^2-AF^2）=√91/2,
S△DFA=DF*AF/2=（3/2）*√91/2/2=3√91/8,
在三角形DEF中,根据余弦定理,DF^2=EF^2+DE^2-2*EF*DE*cos<DEF,
Cos<DEF=√30/24,
Sin<DEF=√546/24,
S △DFE=DE*EF*sin<DEF/2=√455/8,
设θ为二面角E-DF-A的平面角,
则S △DFE= S △ADF*cosθ,
cosθ=(√455/8)/( 3√91/8)= √5/3,
sinθ=√[1-(cosθ)^2=2/3.
2、在△PBC中,PC=BC=2√6,故它是等腰三角形,
作CH⊥PB,PG⊥BC,H、G是垂足,则PG⊥平面ABCD,
CH=√（BC^2-BH^2）=√91/2,
PB*CH/2=BC*PG/2= S △PBC,
PG=√2730/24,
V四棱锥P-ABCD=PG*S梯形ABCD/3
=[（1+2）*2√6/2]* （√2730/24）/3
=√455/4.
。。。好难想