如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合）,PQ∥y轴

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 08:19:15

如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合）,PQ∥y轴
如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合）,PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P,使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标；若不能,请说明理由．

如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合）,PQ∥y轴
（1）B（-1,0）E（0,4）C（4,0）设解析式是y=ax2+bx+c
可得 a-b+c=0 c=4 16a+4b+c=0 解得 a=-1 b=3 c=4 （2分）∴y=-x2+3x+4（1分）
（2）△BDC是直角三角形（1分）
∵BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=（BO+CO）2=25
∴BD2+DC2=BC2（1分）
∴△BDC是Rt△
点A坐标是（-2,0）,点D坐标是（0,2）直线AD的解析式是y=x+2（1分）
设点P坐标是（x,x+2）
当OP=OC时x2+（x+2）2=16解得x=1±根号7 （x=-1+根号7 不符合,舍去）此时点P（1+根号7 ,3+ 根号7 ）
当PC=OC时（x+2）2+（4-x）2=16方程无解
当PO=PC时,点P在OC的中垂线上,∴点P横坐标是2,得点P坐标是（2,4）
∴当△POC是等腰三角形时,点P坐标是（1+ 根号7 ,3+根号 7 ）或（2,4）（2分）
（3）点M坐标是（3/2 ,7/2 ),点N坐标是（3/2 ,25/4 ）,∴MN=11/4 （4）
设点P为（x,x+2）Q（x,-x2+3x+4）,则PQ=-x2+2x+2
①若PQNM是菱形,则PQ=MN,可得x1=0.5,x2=1.5
当x2=1.5时,点P与点M重合；当x1=0.5时,可求得PM= 根号2 ,所以菱形不存在（2分）
②能成为等腰梯形,此时点P的坐标是（2.5,4.5）（2分）

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