若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数都成立,求正整数a的最大值,并证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 23:58:24

若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数都成立,求正整数a的最大值,并证明
若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数都成立,求正整数a的最大值,并证明

若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数都成立,求正整数a的最大值,并证明
f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)
f(n+1)-f(n)=1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)
=2/(3n+2)(3n+3)(3n+4)>0
f(n)递增
所以f(n)最小值为f(1)=13/12
1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数都成立
所以a/24即a/24<13/12
a<26
所以a的最大正整数为25

全部展开

柯西不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+..bn^2)>=(a1b1+a2b2+..anbn)^2
当a1/b1=a2/b2=...an/bn时,取等号.
所以：
[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)](n+1+n+2+n+3+....+3n+1)>(1+1+..+1)^2=(2n)^2=4n^2
(n+1+n+2+...3n+1)=(3n+1+n+1)*2n/2=(4n+2)n (一共2n项)
[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)]>4n^2/[(4n+2)n]=2n/(2n+1)>=a/24
2n/(2n+1)=[2n+1-1]/(2n+1)=1-1/(2n+1) n=1时，1/（2n+1)最大，-1/(2n+1)最小，1-1/(2n+1)最小，
2n/(2n+1)最小值为：2/(2+1)=2/3
要使用2n/(2n+1)>=a/24恒成立，必须a/24<=2/3
即： a<=16 a的最大值为16

收起

证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n 证明不等式 1+2n+3n 不等式求解法：n*(n+1)/2 若关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) 解不等式n(n+1)(2n-1) 证明不等式：(1/n)的n次方+(2/n)的n次方+……+(n/n)的n次方证明对任意的正整数n,不等式In(n+1)/n<(n+1)/n^2证明对任意的正整数n,不等式In(n+1)/n 证明不等式 3^n>(n+1)! 证明不等式：[(n+1)/e]^(n) 使不等式1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+...+1/(2n-1)2n 不等式证明,1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/3n>4n/(4n+1) 数学归纳法证明不等式证明这个不等式 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n^2)>1 (n属于N+,且n>1) 数学不等式证明题n=1,2,……证明：(1/n)^n+(1/2)^n+……+(n/n)^n第二个是(2/n)^n 证明：不等式(2n+1)的N次方>=(2n)的N次方+(2n-1)的N次方 1.使不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n+1) 证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3 怎么推出2^n=(1+1)^n>=1+n+n+1这条不等式. 好难啊已知n属于N*,则不等式|2n/(n+1)-2|

若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数 都成立,求正整数a的最大值,并证明

若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数都成立,求正整数a的最大值,并证明