作业帮已知数列{an}中,a1=2,an=a(n-1)+2n-1(n≥2),求通项麻烦用迭代法做
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:22:33
已知数列{an}中,a1=2,an=a(n-1)+2n-1(n≥2),求通项麻烦用迭代法做
已知数列{an}中,a1=2,an=a(n-1)+2n-1(n≥2),求通项
麻烦用迭代法做
已知数列{an}中,a1=2,an=a(n-1)+2n-1(n≥2),求通项麻烦用迭代法做
an=a(n-1)+2n-1
=a(n-2)+2(n-1)-1+2n-1
=a(n-3)+2(n-2)-1+2(n-1)-1+2n-1
…………
=a1+2*2-1+2*3-1+……+2n-1
=2(1+2+3+……+n)-(n-1)
=n^2+1
因为an=a(n-1)+2n-1
所以an-a(n-1)=2n-1
所以a(n-1)-a(n-2)=2(n-1)-1
a(n-2)-a(n-3)=2(n-2)-1
........
a2-a1=3
左右分别依次相加得：an-a1=（2n-1）+[2(n-1)-1]+.......+3=n^2 -1
又因为a1=2，所以an=n^2+1
an-a(n-1)=2n-1
n从2开始，到n，有：
a2-a1=2*2-1
a3-a2=2*3-1
.....
a[n]-a[n-1]=2*n-1
共n-1行，两边相加，就有：
a[n]-a1=n(n+1)-2-(n-1)
a[n]=n^2+1
n=1时 n1=2也成立。
所以，通项是 an=n^2+1
an-a(n-1)=2n-1
a(n-1)-a(n-2)=2(n-1)-1=2n-3
a(n-2)-a(n-3)=2(n-2)-1=2n-5
a(n-3)-a(n-4)=2(n-3)-1=2n-7
................
a4-a3=2*4-1=7
a3-a2=2*3-1=5
a2-a1=2*2-1=3
上边各式相加
an-a1=3+5+7+....+2n-1=n^2-1
an=n^2-1+2=n^2+1
当n=1时，a1=1^2+1=2
∴通项为an=n^2+1 (n≥1)