作业帮已知抛物线C:y^2=2(2n+1)x,若过点P(2n,0)作一直线交C于An,Bn,则数列{(向量OAn·向量OBn)/2(n+1)}的前n项和为多少 答案为-n(n+1)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 18:28:19
已知抛物线C:y^2=2(2n+1)x,若过点P(2n,0)作一直线交C于An,Bn,则数列{(向量OAn·向量OBn)/2(n+1)}的前n项和为多少 答案为-n(n+1)
已知抛物线C:y^2=2(2n+1)x,若过点P(2n,0)作一直线交C于An,Bn,则数列{(向量OAn·向量OBn)/2(n+1)}的前n项和为多少 答案为-n(n+1)
已知抛物线C:y^2=2(2n+1)x,若过点P(2n,0)作一直线交C于An,Bn,则数列{(向量OAn·向量OBn)/2(n+1)}的前n项和为多少 答案为-n(n+1)
设斜率为k,设两交点为(x1,y1)(x2,y2),
则y²=2(2n+1)x,y=k(x-2n).
联立得关于y的一元二次方程
y²-2(2n+1)/k y-(4n+2)2n=0
由韦达定理,y1y2=-(4n+2)2n.
则向量OAn·向量OBn
=x1x2+y1y2
=y1²/(4n+2) y2²/(4n+2)+y1y2
=(y1y2)²/(4n+2)²+y1y2 （带入韦达定理结果）
=4n²-8n²-4n
=-4n²-4n
与k无关.
向量OAn·向量OBn/(2(n+1))=(-4n²-4n)/2(n+1)=-2n,此项的求和即为-n(n+1),和答案一致.
设直线L方程：ay=x-2n
( 说明：为什么这么设而不设y=k(x-2n)?
因为设成y=k(x-2n)，那么就不包括垂直于x轴的直线x=2n，而ay=x-2a包括直线x=2n。
那么你又会问：但“ay=x-2n”不包括直线y=0啊？
因为直线L与抛物线相交两点就知道直线L不可能是直线y=0，所以直线L可设成“ay...
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设直线L方程：ay=x-2n
( 说明：为什么这么设而不设y=k(x-2n)?
因为设成y=k(x-2n)，那么就不包括垂直于x轴的直线x=2n，而ay=x-2a包括直线x=2n。
那么你又会问：但“ay=x-2n”不包括直线y=0啊？
因为直线L与抛物线相交两点就知道直线L不可能是直线y=0，所以直线L可设成“ay=x-2n”。
ps：碰到类似的的题目也可以这么设。)
由抛物线y^2=2(2n+1)x
故可设An(yAn/(4n+2)，yAn)，Bn(yBn/(4n+2)，yBn)
∴向量OAn·向量OBn=[(yAn·yBn)²/(4n+2)]+(yAn·yBn)............①
由y=k(x-2n)，y^2=2(2n+1)x
两式联立得y²-(4n+2)ay-(8n²+4n)=0
由韦达定理得yAn·yBn=-(8n²+4n)
将其代入①式得
向量OAn·向量OBn=-4n²-4n
∴4/向量OAn·向量OBn=1/（-n²-n）=[1/(n+1)]-1/n
所以
数列{4/向量OAn·向量OBn}的前2011项和
S2011=－[(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/2011-1/2012)]
=-(1-1/2012)
=-2011/2012
收起
略难，主要是忘记了。。。我晚点帮你写写看