作业帮△ABC中AD平分∠BAC交BC于点D,∠ABC、∠ACB的平分线交AD于点O,过点O作OE⊥BC于点E,试探究∠BOD与∠EOC大小关系,并说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/18 08:30:01
△ABC中AD平分∠BAC交BC于点D,∠ABC、∠ACB的平分线交AD于点O,过点O作OE⊥BC于点E,试探究∠BOD与∠EOC大小关系,并说明理由
△ABC中AD平分∠BAC交BC于点D,∠ABC、∠ACB的平分线交AD于点O,过点O作OE⊥BC于点E,试探究∠BOD与∠EOC
大小关系,并说明理由
△ABC中AD平分∠BAC交BC于点D,∠ABC、∠ACB的平分线交AD于点O,过点O作OE⊥BC于点E,试探究∠BOD与∠EOC大小关系,并说明理由
∠BOD=∠EOC,
理由：
因为∠ABC、∠BAC的平分线交AD于点O
所以∠ABO=∠ABC/2,∠BAC=∠ACB/2,
所以∠ABO+∠BAO=(∠ABC+∠BAC)/2
所以∠BOD=∠ABO+∠BAO=(∠ABC+∠BAC)/2
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180-∠C
所以∠BOD=(180-∠C)/2=90-∠C/2,
又OC平分∠ACB,
所以∠OCB=∠ACB/2
因为OE⊥BC于点E,
所以∠EOC=90-∠BCO=90-∠ACB/2
所以∠BOD=∠EOC
相等
因为：∠OEC=90°，AD平分∠BAC，OB平分∠ABC,OC平分∠ACB
所以：∠EOC+∠OCE=90°,∠BAO+∠ABO+∠OCE=90°
因为：∠BOD=∠BAO+∠ABO（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
所以：∠BOD+∠OCE=90°
所以：∠BOD=∠EOC
设∠BAO=∠CAO=X，∠ABO=∠CBO=Y，∠BCO=∠ACO=Z
因为∠A+∠B+∠C=180度，所以X+Y+Z=90度
=> X+Y=90度-Z ------(1)
又∠BOD=X+Y(根据三角形外角定理)，且∠EOC=90度-Z
故由(1)：∠BOD=X+Y=90度-Z=∠EOC
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设∠BAO=∠CAO=X，∠ABO=∠CBO=Y，∠BCO=∠ACO=Z
因为∠A+∠B+∠C=180度，所以X+Y+Z=90度
=> X+Y=90度-Z ------(1)
又∠BOD=X+Y(根据三角形外角定理)，且∠EOC=90度-Z
故由(1)：∠BOD=X+Y=90度-Z=∠EOC
by Leeqq from Taiwan
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