求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 18:50:46
求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解

求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解
求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解

求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解
求微分方程y'+y=e^(-2x)的通解
先求齐次方程y'+y=0的通dy/dx=-y;分离变量得dy/y=-dx;积分之,得lny=-x+lnC₁;
即有y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x);把C₁换成x的函数u,得y=ue^(-x).(1)
对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(-x)-ue^(-x).(2)
将(1)和(2)代入原式得(du/dx)e^(-x)-ue^(-x)+ue^(-x)=e^(-2x)
于是得(du/dx)e^(-x)=e^(-2x),即有du/dx=e^(-x),du=e^(-x)dx,
故u=∫e^(-x)dx=-∫e^(-x)d(-x)=-e^(-x)+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通y=[-e^(-x)+C]e^(-x)=-e^(-2x)+Ce^(-x)
【这种解法谓之“参数变易法“或”常数变易法“,过程有点罗嗦,没有楼上david940498的解法简捷,
但方法比较固定,对于y'+p(x)y=q(x)型的线性方程普遍适用,尤其适用于对初学者.】

e^x(y'+y)=e^(-x)
(ye^x)'=e^(-x)
两边积分:ye^x=-e^(-x)+C
y=-e^(-2x)+Ce^(-x)

y(x) = ln((1/2)*exp(2*x)+C)
方程写成 exp(y)dy=exp(2x)dx
于是 d exp(y)=(1/2)* d exp(2x)
于是 exp(y) == (1/2)*exp(2x)+C
于是得到通解 y(x) = ln((1/2)*exp(2*x)+C)赞同0|评论(1)