x趋向于0 lim f(x)/x=0,求x趋向0时 lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x注意根号下是 1+f(x)如果条件是lim f(x)/x=1，那该如何解 这题只在高数课本极限这一章，不要用章节后的公式或定理x→0希望能解下，给出结果

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 20:11:33
x趋向于0 lim f(x)/x=0,求x趋向0时 lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x注意根号下是 1+f(x)如果条件是lim f(x)/x=1，那该如何解 这题只在高数课本极限这一章，不要用章节后的公式或定理x→0希望能解下，给出结果

x趋向于0 lim f(x)/x=0,求x趋向0时 lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x注意根号下是 1+f(x)如果条件是lim f(x)/x=1，那该如何解 这题只在高数课本极限这一章，不要用章节后的公式或定理x→0希望能解下，给出结果
x趋向于0 lim f(x)/x=0,求x趋向0时 lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x
注意根号下是 1+f(x)
如果条件是
lim f(x)/x=1，那该如何解 这题只在高数课本极限这一章，不要用章节后的公式或定理
x→0
希望能解下，给出结果的我会更加分，没有也不影响最后给分，只是个人打字时打错，把1打成0了。

x趋向于0 lim f(x)/x=0,求x趋向0时 lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x注意根号下是 1+f(x)如果条件是lim f(x)/x=1，那该如何解 这题只在高数课本极限这一章，不要用章节后的公式或定理x→0希望能解下，给出结果

参看图片,可以放大的.公式编辑很辛苦,还望体谅.如有其他问题,可以留言.

ardayoyo的回答正确，只是关于等价的地方没有详细说明，现解答如下：

根本就用不着等价无穷小，楼主，看我的，由limf(x)/x=1知limf(x)=0,则lim[根号(1+f(x))-1]/x=limf(x)/x[根号(1+f(x))+1]=limf(x)/x*lim1/[根号(1+f(x))+1]=1*1/2=1/2。也就是说只要来个分子有理化就能轻松搞定，楼主多留意课本上的题目，很多都可以用分子有理化来解决的

(1).√(1+f)-1={[√(1+f)-1][√(1+f)+1]}/[√(1+f)+1]=f/[√(1+f)+1].(2).由lim(f/x)=0(x-->0)可知，limf=0(x-->0).===>lim1/[√(1+f)+1]=1/2.(x-->0).(3)lim{[√(1+f)-1]/x}=lim(f/x)*{1/[√(1+f)+1]}=0*(1/2)=0.(x-->0).[注：等价无穷小还是要的，lim(f/x)=0(x-->0).===>limf=0(x-->0).用在求第2个极限方面，】

分子有理化就行了，还是1.

由等价无穷小可知：
lim f(x)/x=1 时，因为x→0，所以f(x)→0（这里如果F(X)不趋于0的话，这个极限就是无穷大了）
再由等价无穷小：当x→0时[√1+x]-1 ~ x/2 .
所以：当f(x)→0时｛[√1+f(x)]-1 ~ f(x)/2
所以：lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x
=lim [f(x)/2] / x
...

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由等价无穷小可知：
lim f(x)/x=1 时，因为x→0，所以f(x)→0（这里如果F(X)不趋于0的话，这个极限就是无穷大了）
再由等价无穷小：当x→0时[√1+x]-1 ~ x/2 .
所以：当f(x)→0时｛[√1+f(x)]-1 ~ f(x)/2
所以：lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x
=lim [f(x)/2] / x
= (1/2)lim f(x)/x
=1/2

收起

这里要用到等价无穷小的一个结论
(1+Bx)^a - 1 ~ aBx
则 分子 [√1+f(x)]-1 ~ f(x)/2
则原式= lim ｛f(x)/2｝/x =0

f(x)={x x=1}求lim x趋向于1- f(x) lim x趋向于1+ f(x) lim趋向于1 f(x)f(x)={2x-1 x0} 求lim x趋向于0- f(x) lim x趋向于0+ f(x) lim趋向于0 f(x) 设f'(x0) 存在,求lim[ f(x0-x)-f(x0)]/x,x趋向于0 已知x趋向于0时,f(x)是比x高阶的无穷小,且lim ｛ln[1+f(x)/sin2x]｝/(3^x-1)=5 x趋向于0 求limf（x)/x²x趋向于0 求lim x趋向于0(e^x-x-1) 高数题 lim{/}=?x趋向于0 若lim[x/f(3x)]=2(x趋向于0）,则lim[f(2x)/x]=?(x趋向于0) Lim(X趋向于0)f(X)/X=1,f''(X)>0证明f(X)大于等于X x趋向于0,lim f(x)/x=1,f''(x)>0,证明f(x)>x lim(x趋向于0)f(x)/x=2 则lim(x趋向于0)sin2x/f(3x)=? x趋向于0 lim loga(1+x)/x= 求lim x趋向于0(arctanx)/(x^+1) 求lim x趋向于0(arctanx)/(x^2+1) lim(x趋向于0+）x^tanx 求极限? 求lim x趋向于0(x-sinx)/tanx^3 求lim x趋向于0（sin2x)/x? 设f(x)=e^(-x),则lim(x趋向于0) (f ' (1-2x)-f '(1)) / x 求极限：lim(x趋向于0+）x^(x^x-1)=? 关于高数题 x趋向于0 lim f(x)/x=0时的问题 x趋向于0 lim f(x)/x=0,求x趋向0时 lim ｛[√1+f(x)]-1｝/x注意根号下是 1+f(x)