作业帮在△ABC中,角啊,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量p(c-2a,b),q(cosB,cosC),且p⊥q. (1)求角B的大小2.若b=2根号3,求△ABC的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 17:02:19
在△ABC中,角啊,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量p(c-2a,b),q(cosB,cosC),且p⊥q. (1)求角B的大小2.若b=2根号3,求△ABC的最大值
在△ABC中,角啊,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量p(c-2a,b),q(cosB,cosC),且p⊥q. (1)求角B的大小
2.若b=2根号3,求△ABC的最大值
在△ABC中,角啊,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量p(c-2a,b),q(cosB,cosC),且p⊥q. (1)求角B的大小2.若b=2根号3,求△ABC的最大值
1.因为向量p=(c-2a,b),q=(cosB,cosC),且p⊥q
则向量的数量积p*q=0
即(c-2a)cosB +bcosC=0 （1）
由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC
则a：b：c＝sinA：sinB：sinC
所以（1）式可化为：
(sinC-2sinA)cosB+sinBcosC=0
即sinCcosB+cosCsinB－2sinAcosB＝0
sin(B+C)－2sinAcosB=0 （2）
因为△ABC中,B+C=180°-A
所以sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA
则由（2）式得
sinA－2sinAcosB＝0
sinA(1-2cosB)=0
因为sinA>0,所以解上式得：
cosB＝1/2
所以∠B=60°
2.由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac*cosB
由第1小题知∠B=60°,b=2√3
则12＝a²+c²－2ac*cos60°
即a²+c²－ac＝12
由均值定理得a²+c²≥2ac （当且仅当a＝c时取等号）
则2ac-ac ≤12
即ac ≤12
又三角形面积S=1/2 *ac*sinB=1/2 *ac*sin60°=√3ac/4
因为ac有最大值12,所以：
S△ABC的最大值是√3 *12/4=3√3,此时a=c=2√3
∠B=60°