作业帮在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA=2AB,PA⊥平面ABC1.证明BC⊥PB（已证）2.求PB与平面PAC所成的角3.求二面角A-PC-B的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 18:22:12
在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA=2AB,PA⊥平面ABC1.证明BC⊥PB（已证）2.求PB与平面PAC所成的角3.求二面角A-PC-B的余弦值
在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA=2AB,PA⊥平面ABC
1.证明BC⊥PB（已证）
2.求PB与平面PAC所成的角
3.求二面角A-PC-B的余弦值
在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA=2AB,PA⊥平面ABC1.证明BC⊥PB（已证）2.求PB与平面PAC所成的角3.求二面角A-PC-B的余弦值
第一个问题：
∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA.
∵△ABC是直角三角形,且AB＝BC,∴BC⊥AB.
由BC⊥PA、BC⊥Ab、AB∩PA＝A,得：BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB.
第二个问题：
过B作BE⊥平面PAC交平面PAC于E.
显然,∠BPE就是PB与平面PAC所成的角.
∵Rt△ABC中,AB＝BC、AB⊥BC,∴AC＝√2AB、且△ABC的面积＝（1/2）AB^2
∵PA⊥平面ABC,⊥PA⊥AC.
∴PAC的面积＝（1/2）PA×AC＝（1/2）×2AB×√2AB＝√2AB^2.
很明显,B－PAC的体积＝P－ABC的体积,
∴（1/3）△PAC的面积×BE＝（1/3）△ABC的面积×PA,
∴√2AB^2×BE＝（1/2）AB^2×PA, ∴BE＝（1/2）PA/√2＝（1/2）×2AB/√2＝AB/√2.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB＝√（PA^2＋AB^2）＝√（4AB^2＋AB^2）＝√5AB.
∴sin∠BPE＝BE/PB＝（AB/√2）/（√5AB）＝√10/10.
∴PB与平面PAC所成的角为arcsin（√10/10）.
第三个问题：
过A作AF⊥PC交PC于F,再过F作FG⊥PC交PB于G.
显然,∠AFG为二面角A－PC－B的平面角.
∵PB⊥BC,∴PC＝√（PB^2＋BC^2）＝√（5AB^2＋AB^2）＝√6AB.
由三角形面积公式,有：（1/2）PA×AC＝（1/2）PC×AF,
∴AF＝PA×AC/PC＝2AB×√2AB/（√6AB）＝2AB/√3.
∴PF＝√（PA^2－AF^2）＝√（4AB^2－4AB^2/3）＝2AB√（1－1/3）＝2√2AB/√3.
∵∠FPG＝∠BPC、∠PFG＝∠PBC＝90°,∴△PFG∽△PBC,∴FG/BC＝PG/PC＝PF/PB,
∴FG＝BC×PF/PB＝AB×（2√2AB/√3）/（√5AB）＝2√2AB/√15.
PG＝PC×PF/PB＝√6AB×（2√2AB/√3）/（√5AB）＝4AB/√5.
∵PA⊥AB,∴cos∠APB＝PA/PB＝2AB/（√5AB）＝2/√5.
∴AG^2＝PA^2＋PG^2－2PA×PGcos∠APB＝4AB^2＋16AB^2/5－2×2AB×（4AB/√5）×（2/√5）
＝36AB^2/5－32AB^2/5＝4AB^2/5,
∴AG^2＋FG^2＝12AB^2/15＋8AB^2/15＝20AB^2/15＝4AB^2/3,而AF^2＝4AB^2/√3,
∴AG^2＋FG^2＝AF^2,∴AG⊥FG,
∴cos∠AFG＝FG/AF＝（2√2AB/√15）/（2AB/√3）＝√10/5.
∴二面角A－PC－B的余弦值为√10/5.