作业帮如何证明1+1/2+1/3+1/4.+1/n的结果不是整数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 02:13:05
如何证明1+1/2+1/3+1/4.+1/n的结果不是整数
如何证明1+1/2+1/3+1/4.+1/n的结果不是整数
如何证明1+1/2+1/3+1/4.+1/n的结果不是整数
如果n=1就是整数.
如果n=无穷大,你是可以证明是无穷大的.
当 n 趋向无穷大时,(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n) 趋向无穷大,极限不存在.
因为当 x＞0 时,不等式 x＞ln(1+x) 恒成立（这是一个重要的不等式,可用“导数”证明）,所以
1＞ln(1+1)=ln2
1/2＞ln(1+1/2)=ln(3/2)
1/3＞ln(1+1/3)=ln(4/3)
1/4＞ln(1+1/4)=ln(5/4)
……
1/(1-n)＞ln[1+1/(n-1)]=ln[n/(n-1)]
1/n＞ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n],
于是
(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)
＞ln2 + ln(3/2) + ln(4/3) + ln(5/4) +……+ ln[n/(n-1)] + ln[(n+1)/n]
= ln[2·3/2·4/3·5/4·……·n/(n-1)·(n+1)/n]
= ln(n+1),
当 n--->∞ 时,ln(n+1)--->∞,所以 (1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)--->∞.
这里说的的对任意一个确定的正整数n，1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数，和极限没有关系（用了极限也难以证明原结论）。
不知这个推荐答案是怎么推荐上去的。
可参见本人对同一问题的解答
http://zhidao.baidu.com/question/312263826.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-798492059<...
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这里说的的对任意一个确定的正整数n，1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数，和极限没有关系（用了极限也难以证明原结论）。
不知这个推荐答案是怎么推荐上去的。
可参见本人对同一问题的解答
http://zhidao.baidu.com/question/312263826.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-798492059
假定n>1（n=1时结论不成立）
假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数，现在来推出矛盾。
设P=[1, 2, …, n]为1、2、……、n的最小公倍数（不是取n!），用P乘以上式两边，
P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M， ………………①
设k是满足2^k≤n的最大正整数，即2^k≤n<2^(k+1)。
显然2^k|P*M (n≥2, 2^k|P)。
下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数，甚至不是2的倍数。
显然P*1/i是整数（i=1, 2, … . n）。
把P分解因数，其中质因数2出现的次数为k（2^k≤n<2^(k+1)，所以2^k|P；又因为P是最小公倍数，所以P的因数中恰好含有k个2）。故P/2^k不再含素因子2，即为奇数。
P/1、P/2、…、P/n这些数中，除P/2^k外，其余各项都是2的倍数（因为分母的质因数中至多含有(k-1)个2，而分子含有k个2）。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数（其中只有1个奇数，其余都是偶数）。这与①式右边为偶数矛盾。
之前辅导一个小学生时，倒是遇到类似的问题：
证明1+1/2+1/3+1/4+…+1/49不是整数（可以考虑素数5，而不必考虑2）
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