已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：f(x)是偶函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 03:01:41

已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：f(x)是偶函数
已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：f(x)是偶函数

已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：f(x)是偶函数
令x=y=0 f(0)^2=f(0) f(0)=0或1
f(0)=0时令x=1 y=0得f(1)=0 令x=2 y=0得f(2)=0
与条件f(1)≠f(2)矛盾,所以f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(y)
所以f(y)=f(-y)即f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数

取x=y=0,代入原式:
f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
因为f(x)恒不为零,所以f(0)=1
取x=0,代入原式:
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
把f(0)=1代入:
f(y)=f(-y)
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数

由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ，令 x=y=0带入
得到 f(0)=0 或 1
若f(0)=0时令x=1 y=0得f(1)=0
令x=2 y=0得f(2)=0
与条件f(1)≠f(2)矛盾，所以f(0)=1

把 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 中的y换为 -y ，...

全部展开

由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ，令 x=y=0带入
得到 f(0)=0 或 1
若f(0)=0时令x=1 y=0得f(1)=0
令x=2 y=0得f(2)=0
与条件f(1)≠f(2)矛盾，所以f(0)=1

把 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 中的y换为 -y ，

得到 f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(-y)

二式相减得到 2f(x)f(y)=2f(x)f(-y)
从而得到 f(y)=f(-y)

收起

已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y) 已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数已知函数y=f(x)满足f(-2)>f(-1),f(-1) 已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2015)= 已知函数f(x)满足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).则f(2010) 已知函数f(x)满足,f(1)=0.25,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 则f（2010）= 已知函数f(x)满足f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2012)=? 已知函数f(x)满足f(1)=1/4,f(x)+f(y)=4f(x+y/2)*f(x-y/2)则f(-2011)=? 已知函数f(x)满足f(3)=1/3,3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求f(1812) 已知函数f(x)满足:f(1)=0,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2014)= 已知函数y=f(X)满足f(x)=2f(1/x)+x,求f(x)的表达式已知函数y=f(x)满足3f(x)+f(-x)=5x,则f(x)= 已知二次函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x) 高中数学函数题已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y属于R),则f(2010)=?已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y属于R),则f(2010)=? 已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),求证：f(x/y)=f(x)-f(y)(y≠0）. 已知函数f(x)满足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).则f(2010)=?(x,y属于R）为什么f(x+3)=-f(x+6) 已知函数f(x)满足f(x)+3f(-x)＝3x,求f(x) 已知函数f:R->R满足 f(f(x)+f(y))=f(x)+y(x,y属于R).则f(2011)=?