作业帮如图,在三角形ABC中,∠ABC=45’,CD垂直AB,BE垂直AC,垂足分别为D,E.F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H.∠ABE=∠CBE.1.求证线段BH与AC相等.2.求证BG²—GE²=EA
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 08:47:09
如图,在三角形ABC中,∠ABC=45’,CD垂直AB,BE垂直AC,垂足分别为D,E.F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H.∠ABE=∠CBE.1.求证线段BH与AC相等.2.求证BG²—GE²=EA
如图,在三角形ABC中,∠ABC=45’,CD垂直AB,BE垂直AC,垂足分别为D,E.F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H.∠ABE=∠CBE.1.求证线段BH与AC相等.2.求证BG²—GE²=EA
如图,在三角形ABC中,∠ABC=45’,CD垂直AB,BE垂直AC,垂足分别为D,E.F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H.∠ABE=∠CBE.1.求证线段BH与AC相等.2.求证BG²—GE²=EA
证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,
∵在△DBH和△DCA中
∠BDH=∠CDA BD=CD ∠HBD=∠ACD ,
∴△DBH≌△DCA,
∴BH=AC．
（2）连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠CEB,
在△ABE和△CBE中
∵ ∠AEB=∠CEB BE=BE ∠CBE=∠ABE ,
∴△ABE≌△CBE,
∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得：BG的平方-GE的平方=EA的平方
（1）因为∠CBA等于45°，CD垂直于AB，
所以三角形BCD为等腰直角三角形。
所以BD=CD。
又因为三角形BEA相似于三角形ACD
所以∠ABE=∠ACD
所以在三角形BHD与三角形ACD中
∠ABE=∠ACD
BD=CD
∠BDH=∠CDA
所以两个三角形全等 ASA
所以BH=AC