函数y=(x-a)²+(x-b)² (a,b为常数) 的最小值

函数y=(x-a)²+(x-b)² (a,b为常数) 的最小值
函数y=(x-a)²+(x-b)² (a,b为常数) 的最小值

函数y=(x-a)²+(x-b)² (a,b为常数) 的最小值
由于(x-a)²和(x-b)²可看作|x-a|²和|x-b|²,即是x到a(b)的距离的平方数
因此该函数最小值自然是x在a,b之间的中点
所以该x=|a-b|/2
y=(a-b)² / 2

y=x²-2ax+a²+x²-2bx+b²
=2x²-2(a+b)x+1/4(a+b)² +(3a²-2ab+3b²)/4
=2[x-(a+b)/2]²+(3a²-2ab+3b²)/4
∴x=(a+b)/2时 有最小值，最小值是(3a²-2ab+3b²)/4

如果用高等数学的方法就是求导算就行了，求导之后可以知道驻点为x=(a+b)/2为函数的最小值。
代入可得最小值为：y=[(a+b)/2-a]^2+[(a+b)/2-b)]^2=[(b-a)/2]^2+[(a-b)/2]^2=[（a-b）^2]/2.
如果没学过高等数学，就可以采用化简得：y=x^2-x*(a+b)+(a^2+b^2)/2，利用开口向上的二次函数求函数的最低点，同样是...

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如果用高等数学的方法就是求导算就行了，求导之后可以知道驻点为x=(a+b)/2为函数的最小值。
代入可得最小值为：y=[(a+b)/2-a]^2+[(a+b)/2-b)]^2=[(b-a)/2]^2+[(a-b)/2]^2=[（a-b）^2]/2.
如果没学过高等数学，就可以采用化简得：y=x^2-x*(a+b)+(a^2+b^2)/2，利用开口向上的二次函数求函数的最低点，同样是求得在x=(a+b)/2 时，函数可得最小值。最小值与上面所得结果一样。

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