已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,正无穷大)内恒成立,则实数a的取值范围是

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 00:17:05
已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,正无穷大)内恒成立,则实数a的取值范围是

已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,正无穷大)内恒成立,则实数a的取值范围是
已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,正无穷大)内恒成立,则实数a的取值范围是

已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,正无穷大)内恒成立,则实数a的取值范围是
分析:f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立,
分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立,
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续.
求导易得h'(x)=-lnx/x^21),得h(x)在(1,+oo)递减,
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)maxh(x),得a的取值范围:a>=1.此时命题就恒成立了(需要细细理解取等号.)
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