作业帮如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 04:13:35
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
（1）证明：∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=2√3 ,BC=2,AM=3,CM=1．
∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,FC/EA =1/3∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°,即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,
连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,∴BM=AB•sin30°= √3 ．
由FC/EA =GC/GA =1/3 ,得GC=2．∵BG=√（BM^2+MG^2） =2√3 ．
又∵△GCH∽△GBM,∴GC/BG =CH/BM ,
则CH=GC•BM/BG =2×√3 /2√3 =1．
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 √2/2 ． 
（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2
3
FC
EA
1
3
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全部展开
（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2
3
FC
EA
1
3
∴FC⊥平面ABCD．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角．（8分）
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=
3
由
FC
EA
GC
GA
1
3
BM2+MG2
3
又∵△GCH\～△GBM，∴
GC
BG
CH
BM
GC•BM
BG
2×3
23
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
2
2 ．
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