函数题,有难度若函数y=a^x(a＞1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是?

函数题,有难度若函数y=a^x(a＞1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是?
函数题,有难度
若函数y=a^x(a＞1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是?

函数题,有难度若函数y=a^x(a＞1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是?
易知,此时该函数y=a^x在R上递增.
∴由题设可知,必有：
a^m=m,且a^n=n.
即方程：a^x=x有两个不同的正的实数解.（∵x=a^x＞0)
两边取对数,可得：x(lna)=lnx
∴就有：lna=(lnx)/x
或者说,函数f(x)=(lnx)/x的图像与直线y=lna有两个不同的交点.
由求导可知,f(x)max=f(e)=1/e
∴必有：lna＜1/e
∴1＜a＜e^(1/e)

因为a>1, 所以y=a^x 是增函数, 定义域和值域相同,
所以函数在x=m有最小值m, x=n有最大值n, 又
f(m) = a^m = m
f(n) = a^n = n
由①得m*ln(a) = ln(m) =>a=m^(1/m)
由②得n*ln(a) = ln(n) =>a=n^(1/n)
所以a的取值范围[m^(1/m), n^(1/n)]

已知定义在（0，﹢∞）上的函数f（x）为单调函数，且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)= 问题补充：要过程！！！ 设f(1)=a 令x=1时 f(