已知f(x)=ax-ln(-x)……证明:2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(n-1)/(2^(n-1)+1)>ln((2^n+1)/2),n为正整数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 18:26:51
已知f(x)=ax-ln(-x)……证明:2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(n-1)/(2^(n-1)+1)>ln((2^n+1)/2),n为正整数.

已知f(x)=ax-ln(-x)……证明:2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(n-1)/(2^(n-1)+1)>ln((2^n+1)/2),n为正整数.
已知f(x)=ax-ln(-x)……证明:2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(n-1)/(2^(n-1)+1)>ln((2^n+1)/2),n为正整数.

已知f(x)=ax-ln(-x)……证明:2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(n-1)/(2^(n-1)+1)>ln((2^n+1)/2),n为正整数.

  1. 可以验证n=1,2时满足.

  2. 假设当n=k时,2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(k-1)/(2^(k-1)+1)>ln((2^k+1)/2)
    则当n=k+1时,2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(k-1)/(2^(k-1)+1) + 2^k/(2^k+1) > ln((2^k+1)/2) + 2^k/(2^k+1)


ln((2^(k+1) +1)/2)-ln((2^k+1)/2)=ln( ((2^(k+1) +1)/2) / ((2^k+1)/2) )

=ln(((2^(k+1) +1) / (2^k+1) )

=ln(((2·(2^k+1-1) +1) / (2^k+1) )

=ln(2 - 1 / (2^k+1) )

现在需要证明 ln(2 - 1 / (2^k+1) ) - 2^k/(2^k+1)<0,

即 ln(2 - 1 / (2^k+1) ) -1+ 1/(2^k+1)<0

先证明当0<x<1/2时,ln(2 - x ) -1+ x <0

令f(x)=ln(2 - x ) -1+ x ,

则f'(x)=1/(x-2)+1>0.

说明当0<x<1/2时,f(x)=ln(2 - x ) -1+ x是单调递增函数.

而f(1/2)=ln(3/2 ) -1/2

(3/2)²=9/4=2.25<e,

→3/2<√e

→ln(3/2 ) <1/2

→f(1/2) <0.

所以当0<x<1/2时,增函数f(x)=ln(2 - x ) -1+ x<0.


当k≥1时,0< 1 / (2^k+1)<1/2

→f(1 / (2^k+1) )= ln(2 - 1 / (2^k+1) ) -1+ 1/(2^k+1)<0

→ln(2 - 1 / (2^k+1) ) - 2^k/(2^k+1)<0,

ln(2 - 1 / (2^k+1) ) < 2^k/(2^k+1)

即 ln((2^(k+1) +1)/2) -ln((2^k+1)/2) < 2^k/(2^k+1)

→ln((2^k+1)/2) + 2^k/(2^k+1) > ln((2^(k+1) +1)/2)


因此,当n=k+1时,有 2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(k-1)/(2^(k-1)+1) + 2^k/(2^k+1) > ln((2^(k+1) +1)/2).

∴

n为正整数时,2^0/(2^0+1)+2^1/(2^1+1)+2^2/(2^2+1)+……+2^(n-1)/(2^(n-1)+1)>ln((2^n+1)/2)

成立.

已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax,讨论f(x)的单调性 已知函数f(x)=ax-ln(-x),x属于【-e,0),其中e是自然对数底数.当a=-1时证明f(x)+ln(-x)/x大于1/2.请要详已知函数f(x)=ax-ln(-x),x属于【-e,0),其中e是自然对数底数.当a=-1时证明f(x)+ln(-x)/x大于1/2.中间分类讨论 已知函数f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1), 已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-2x/x+2 已知函数f（x）=x-1/2ax^-ln（x+1） 已知函数f(x)=ln(ax+1)+x²-ax,a>0讨论函数f(x)的单调区间 已知函数f(x)=ln(1+x)/x(1)当X>0时,证明f(x)>2/(X+2) 已知函数f(x)=ln(1+e^2x)+ax是偶函数则a= 已知函数f（x）=ln（x+1）-ax^2-x求f（x）单调区间 已知f(x)=ax^2+ln(x+1),任意x属于0到正无穷,f(x) 已知函数f(x)=ln(1 x)/x （1）证明y=f(x)在(0,∞)上为减函数（2）设数列h(x)=x*f(x)-x-ax∧3在（0,2）上有极值,求a的取值范围.f(x)=ln(1+x)/x 已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1)-ln(ax)+ln(x+1)已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),（a不等于0且为R）1.求函数f(x)的定义域2.求函数f(x)的单调区间3.当a>0时,若存在x使得f(x)≥ln（2a）成立,求a的取值范围 已知函数f(x)=ln x+2x-6.证明：函数f(x)有且只有一个零点 已知函数f(x)=e^(x-m)-ln(2x)当m≤2时,证明f(x)>-ln2 已知函数f(x)=ln(e^x-e^-x)/2,则f(x)是,奇偶性,单调,证明 求f(x)=ln(2-x)+ax的导数 设曲线f(x)=ax+ln(2-x)求导 f(x)=x^2ln(ax)的导数