作业帮正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且△AEF是正△,求证：CE=CF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:40:18
正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且△AEF是正△,求证：CE=CF
正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且△AEF是正△,求证：CE=CF
正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且△AEF是正△,求证：CE=CF
【题目】
正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且△AEF是正△.
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
【分析】
①本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质和等腰三角形的性质,解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用；
②根据正方形可知AB=AD,由等边三角形可知AE=AF,于是可以证明出△ABE≌△ADF,即可得出CE=CF；
③连接AC,交EF与G点,由三角形AEF是等边三角形,三角形ECF是等腰直角三角形,于是可知AC⊥EF,求出EG=1,设BE=x,利用勾股定理求出x,即可求出BC的上,进而求出正方形的周长.
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD,
∵△AEF是正△,即等边三角形
∴AE=AF
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∵ AB=AD AE=AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF
∴CE=CF
连接AC,交EF于G点
∵△AEF是等边三角形,△ECF是等腰直角三角形
∴AC⊥EF
在Rt△AGE中
EG=sin30°×AE=1/2×2=1
∴EC=√2
设BE=x
则AB=x+√2
在Rt△ABE中
AB²+BE²=AE²
即：
(x+√2)²+x²=4
解得：
x=(-√2+√6)/2
∴AB=[(-√2+√6)/2]+√2 =(√2+√6)/2
∴正方形ABCD的周长为4AB=2(√2+√6)
因为△AEF是正三角形，所以AF=AE,又因为ABCD是正方形，所以AD=AB,角D=角B，所以BE=DF,因为BC=CD,E,F在BC,CD上，所以CE=CF.
因为AEF正三角形，所以AE=AF；
所以ABE全等于ADF（角边边）；
所以BE=DF；
所以CE=CF。什么是角边边，根本没有这个证法有这个证法，不过不是直接拿来能用， 已知一个角，及其一条侧边和对边长度，则三角形可以被固定。具体方法是，以这个角的两侧边做直线，其中一边已知长度，得到一个点，在该点，以对边长度半径做圆，可与无法确定长度的那条侧边有一个交点（已知角是直角...
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因为AEF正三角形，所以AE=AF；
所以ABE全等于ADF（角边边）；
所以BE=DF；
所以CE=CF。
收起
在正方形ABCD中
AB=AD=BC=DC
∠ABC=∠ADC=90°
因为AEF为正△
所以AE=AF
在RT△ABE和RT△ADF中
AE=AF
AB=AD
所以RT△ABC全等于RT△ADC（斜边，直角边）
所以BE=DF
因为BC=CD
所以BC-BE=CD-DF
即EC=CF