设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,求数列的公差q.

设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,求数列的公差q.
设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,求数列的公差q.

设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,求数列的公差q.
首先按公式列出S3、S6、S9；
S3=a1(1-q^3)/(1-q)
S6=a1(1-q^6)/(1-q)
S9=a1(1-q^9)/(1-q)
然后代入等式S3+S6=S9,化简之后会有2－q^3－q^6＝1－q^9；
这个时候可以设q^3＝X,即2－X－X^2＝1－X^3；
移项,会有X^3－X^2=X－1,即X^2(X-1)=X-1;
然后分类讨论,
如果X-1=0即X＝1的时候,式子成立,此时q=1；
如果X-1不等于0,这个时候约去式子里面的（X-1）,得到X^2＝1,也就是说X等于正负1,代 回原式子,符合题意；
所以综上所述,q＝1或-1.

q=1时
3a1+6a1=9a1 成立
q不等于1时
a1*(1-q^3)/(1-q)+a1*(1-q^6)/(1-q)=a1(1-q^9)/(1-q)
约掉各种
1-q^3-q^6=q^9
解出来q是无理数

S3+S6=S9
S3+S6=S6*q^3+S3
S6=S6*q^3
q=1

Sn=[a1*(1-q^n)]/1-q S3+S6=S9 所以a1*(1-q^3)+a1*(1-q^6)=a1*(1-q^9) 所以1-q^3+1-q^6=1-q^9
q^3+q^6-q^9=1 q=1或-1