是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?

是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?
是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?

是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?
假设两个角是AB
sinA=sin(90-B)=cosB
所以sin²A+sin²B=cos²B+sin²B=1
即x1²+x2²=1
x1+x2=-3k/4
x1x2=(2k+1)/8
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=9k²/16-(2k+1)/4=1
9k²-8k-20=0
(9k+10)(k-2)=0
k=-10/9,k=2
k=2,8x^2-12x+5=0,判别式小于0,无解
k=-10/9,72x^2-60x-11=0,
则x1x2=-11/72
但显然sinA和sinB都大于0,所以相乘大于0
也不成立
所以无解

有两个根
64k^2-32(2k+1)>=0
2k^2-2k-1>=0
a+b=90度
sina=sin(90-b)=cosb和sinb
所以(sina)^2+(sinb)^2=(cosb)^2+(sinb)^2=1
sina+sinb=8k/8=k
sina*sinb=(2k+1)/8
(sina)^2+(sinb)^2=(sina...

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有两个根
64k^2-32(2k+1)>=0
2k^2-2k-1>=0
a+b=90度
sina=sin(90-b)=cosb和sinb
所以(sina)^2+(sinb)^2=(cosb)^2+(sinb)^2=1
sina+sinb=8k/8=k
sina*sinb=(2k+1)/8
(sina)^2+(sinb)^2=(sina+sinb)^2-2sinasinb=k^2-(2k+1)/4=1
4k^2-2k-1=4
4k^2-2k-5=0
k=(1±√21)/4都符合2k^2-2k-1>=0
所以k=(1+√21)/4或k=(1-√21)/4

收起

两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦
则：x1=sina,x2=sin(90-a)=cosa
x1^2+x2^2=1，（x1>0,x2>0)
而：x1+x2=-3k/4,x1x2=(2k+1)/8
所以
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=9k^2/16-(2k+1)/4
=(9k^2-8k-4)/16
=...

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两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦
则：x1=sina,x2=sin(90-a)=cosa
x1^2+x2^2=1，（x1>0,x2>0)
而：x1+x2=-3k/4,x1x2=(2k+1)/8
所以
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=9k^2/16-(2k+1)/4
=(9k^2-8k-4)/16
=1
9k^2-8k-4=16
9k^2-8k-20=0
(k-2)(9k+10)=0
k1=2,k2=-10/9
因为:x1>0,x2>0
所以， x1+x2=-3k/4>0
k<0
所以，k1=2是增根
所以，
k=-10/9

收起

不存在
按照两根的平方和为1计算k=2或k=-10/9
都不符合题意，舍去，所以不存在

假设两个角是AB
sinA=sin(90-B)=cosB
所以sin²A+sin²B=cos²B+sin²B=1
即x1²+x2²=1
x1+x2=-3k/4
x1x2=(2k+1)/8
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=9k²/16-(2...

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假设两个角是AB
sinA=sin(90-B)=cosB
所以sin²A+sin²B=cos²B+sin²B=1
即x1²+x2²=1
x1+x2=-3k/4
x1x2=(2k+1)/8
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=9k²/16-(2k+1)/4=1
9k²-8k-20=0
(9k+10)(k-2)=0
k=-10/9,k=2
k=2，8x^2-12x+5=0,判别式小于0，无解
k=-10/9，72x^2-60x-11=0,
则x1x2=-11/72
但显然sinA和sinB都大于0，所以相乘大于0
也不成立
所以无解

收起

即是否存在x1^2+x2^2=1
x1+x2=-3k/4
x1x2=(2k+1)/8
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=9k^2/16-(2k+1)/4=1
9k^2-8k-20=0
判别式=64+4*9*20>0
∴存在这样的k