a(n+1)=1//2 (an+1/an) 正项数列 （）角标1.若a1=3/2,证明an

a(n+1)=1//2 (an+1/an) 正项数列 （）角标1.若a1=3/2,证明an
a(n+1)=1//2 (an+1/an) 正项数列 （）角标
1.若a1=3/2,证明an

a(n+1)=1//2 (an+1/an) 正项数列 （）角标1.若a1=3/2,证明an
an+1=(1/2)(an+1/an)
an>0时,√an>0 an+1=(1/2)(an+1/an)>(1/2)*2*√[(√an)*(1/√an)]=1
1
a1=3/2
当n=2 a2=13/12

f(x)=0.5{ x +1/x}导数　＝0.5-0.5/x　> 0　当x>1时恒成立，函数单调递增
　　　　　　　　　　　　　　　　　< 0　当01)a1 显然成立　假设an成立an<1+1/2^(n+1)
　　　则an+1 =f(an) < f(1+1/2^(n+1)) ＝0.5{2+1/2^(n+1) -1/[2^(n+1) +1]}<...

全部展开

f(x)=0.5{ x +1/x}导数　＝0.5-0.5/x　> 0　当x>1时恒成立，函数单调递增
　　　　　　　　　　　　　　　　　< 0　当01)a1 显然成立　假设an成立an<1+1/2^(n+1)
　　　则an+1 =f(an) < f(1+1/2^(n+1)) ＝0.5{2+1/2^(n+1) -1/[2^(n+1) +1]}
=1+{1/2^(2n+2)/2^((n+1)+1)}
< 1 + 1/2^(n+2)
2)设an=ci/di ci=di+1
则an+1=0.5(ci/di +di/ci) =0.5(ci^2+di^2)/ci/di =0.5[ 2 +(ci-di)^2/ci/di ]
=1+1/2/ci/di 也=（2cidi +1）/(2cidi)-------------=ci+1 /di+1这是下一个项的比值可以递推
[an/an+1 -1]=ci/di *(2cidi)/(2cidi+1) -1
={2cidi(ci-di) -di}/di/(2cidi +1)
=(2ci -1)/(2cidi +1) 也＝(2di+1)/(2di^2+2di+1) <1/di
上述过程可见、除a1是分子小1、其它都是分子大1。
且di+1= 2*cidi>2di^2................................式1
a1/a2 +a2/a3 +a3/a4 + ........+an/a(n+1)-n
=a1/a2 -1 +1/d2 +1/d3 +1/d4 +......+1/dn-------------根据式1,分母涨得很快，易证该不等式
..............自己完成吧，太不好敲了。如1/di <1/12^i

收起

下面是由题干条件得出来的：
由a（n+1）=1/2(an+1/an)得：
2a(n+1)an=an²+an
那么既然an为正项数列，即an＞0恒成立，那么上式两边约去an，可得：
2a（n+1）=an+1,即
a（n+1）=½an+½。可配成a（n+1)-1=½（an-1），那么数列{an-1}是以a1-1为首项，以&...

全部展开

下面是由题干条件得出来的：
由a（n+1）=1/2(an+1/an)得：
2a(n+1)an=an²+an
那么既然an为正项数列，即an＞0恒成立，那么上式两边约去an，可得：
2a（n+1）=an+1,即
a（n+1）=½an+½。可配成a（n+1)-1=½（an-1），那么数列{an-1}是以a1-1为首项，以½为公比的等比数列，但是可惜的是，a1在题干中没有明确，所以暂时写不出其通项公式。
下面我们来看题的第一问：
（1）a1=3/2时，根据上面所说，那么an-1=（a1-1）×（½）^(n-1)=(½)^n,
那么an=（½）^n+1，通项公式出来了。往下，要证明an<1+1/2^(n+1)，只需证
（½）^n＜（½）^(n+1)即可，但是这个结果怎么不对啊，不合常理。你的题可能有问题吧？应该是an＞1+1/2^(n+1)在n∈Z时恒成立而已，但是an＜1+1/2^(n+1)是绝对不可能的。
（2）a1=2/3时，an-1=(-1/3)×（½）^(n-1),所以an=(-1/3)×（½）^(n-1)+1从而
a1=(-1/3)×（½）^(1-1)+1=2/3；
a2=(-1/3)×（½）^(2-1)+1=5/6；
a3=(-1/3)×（½）^(3-1)+1=11/12；……
an=(-1/3)×（½）^(n-1)+1。所以
a1/a2 =4/5；
a2/a3 =10/11；
a3/a4 =22/23……
所以猜想：an/a(n+1)=[(n+1)(n+2)-1]/[(n+1)(n+2)],（说明：此时在n≥1时成立）
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，a1/a2=2/3=[（1+1）(1+2)-1]/[(1+1)(1+2)],命题显然成立;；
②当n≥2时，假设：an/a(n+1)=[(n+1)(n+2)-1]/[(n+1)(n+2)]，
则当n=n+1时，
a（n+1）/a(n+2)
=[(-1/3)×（½）^n+1]/[(-1/3)×（½）^(n+1)+1]
=[-1/(3×2^n)+1]/{-1/[3×2^(n+1)]+1}
=[(n+2)(n+3)-1]/[(n+2)(n+3)]成立，所以
an/a(n+1)=[(n+1)(n+2)-1]/[(n+1)(n+2)]是成立的。所以
a1/a2 +a2/a3 +a3/a4 + ........+an/a(n+1)
=（2*3-1）/（2*3）+（3*4-1）/（3*4）+……+[（n+1）（n+2）-1]/[(n+1)(n+2)]
=n-{1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+……+1/[(n+1)(n+2)]}
=n-[-n/(2n+4)],
所以a1/a2 +a2/a3 +a3/a4 + ........+an/a(n+1)-n =n/(2n+4)，
下面就要证明n/(2n+4)＜√2+1，这个又是一个难题。不妨再通过数学归纳法做一次，除此以外，别无他法。暂且一试了。
①当n=1时，n/(2n+4)=1/6＜√2+1成立。进行下一步：
②假设n≥2时，n/(2n+4)＜√2+1成立，则当n=n+1时，
(n+1)/[2(n+1)+4]
=(n+1)/(2n+6)
往下不用再写了，我们知道，真分数当分子分母同时加上同一个数的时候，分数越来越大；相反，假分数越加越小。但是无论怎么加，分数的真假性是不能改变的，即：真分数无论怎么加它还是真分数，假分数亦然。所以问题得证：(n+1)/(2n+6)＜(n+1)/(2n+5)＜n/(2n+4)＜√2+1，得证。

收起

由a（n+1）=1/2(an+1/an)得：
2a(n+1)an=an²+an