作业帮△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c．已知a＝2,3bsinC－5csinBcosA＝0,则△ABC面积的最大值是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:48:43
△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c．已知a＝2,3bsinC－5csinBcosA＝0,则△ABC面积的最大值是
△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c．已知a＝2,3bsinC－5csinBcosA＝0,则△ABC面积的最大值是
△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c．已知a＝2,3bsinC－5csinBcosA＝0,则△ABC面积的最大值是
有正弦定理知：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以：bsinC=csinB
3bsinC-5csinBcosA=0,即：
3csinB-5csinBcosA=0
所以：csinB*（3-5cosA）=0
c是三角形的边,故c不等于0
角B大于0,小于180°,所以,sinB也不为0,
所以：cosA=3/5
则sinA=4/5
三角形面积为：S=(1/2)bcsinA=2bc/5
有余弦定理知：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
所以：4=b^2+c^2-2bc*3/5=b^2+c^2-6bc/5
因为：b^2+c^2>=2bc （当b=c时,取等）
所以：2bc-6bc/5
最大值为2，具体过程如下
因为3bsinC=5csinBcosA，利用正弦定理可得3sinBsinC=5sinCsinBcosA，
即cosA=3/5，所以sina=4/5
再由余弦定理可得b^2+c^2-4=2bccosA,即b^2+c^2=6bc/5 +4>=2bc,得到bc<=5
S=1/2bcSinA=2/5 bc <=2
由正弦定理
a/sinA = b/sinB = c/sinC = u
3bsinC－5csinBcosA＝0简化成
3b*c/u -5c*b/u* cosA =0
cosA = 3/5
(sinA )^2= 1-（cosA)^2
解出sinA, 因为在三角形中, sinA 非负
sinA = 4/5
解出 u
u= 2/(4...
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由正弦定理
a/sinA = b/sinB = c/sinC = u
3bsinC－5csinBcosA＝0简化成
3b*c/u -5c*b/u* cosA =0
cosA = 3/5
(sinA )^2= 1-（cosA)^2
解出sinA, 因为在三角形中, sinA 非负
sinA = 4/5
解出 u
u= 2/(4/5) = 5/2
△ABC面积S
S = 1/2 * b*c *sinA= 1/2 * u*sinB *u *sinC *sinA
=1/2 *u^2 *sinA * sinB *sinC
= 1/2 * 5/2 *5/2 * 4/5 * sinB *sinC
= 5/2 * sinB *sinC
用积化和差sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2
= 5/2 * (-1/2)* (cos(B+C) -cos(B-C))
= 5/2 * (-1/2)*(cos(PI - A) -cos(B-C))
= 5/4 * (cosA +cos(B-C))
<= 5/4 * (3/5 +1)
=2
最大值是2
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