作业帮已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),当x属于[-1,1]时,|f(x)|≤1（1）求证：|b|≤1（2）若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 00:12:19
![已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),当x属于[-1,1]时,|f(x)|≤1（1）求证：|b|≤1（2）若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式](/uploads/image/z/11067228-36-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax2%2Bbx%2Bc%28a%2Cb%2Cc%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%29%2C%E5%BD%93x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%5B-1%2C1%5D%E6%97%B6%2C%7Cf%28x%29%7C%E2%89%A41%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%7Cb%7C%E2%89%A41%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5f%280%29%3D-1%2Cf%281%29%3D1%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),当x属于[-1,1]时,|f(x)|≤1（1）求证：|b|≤1（2）若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),当x属于[-1,1]时,|f(x)|≤1
（1）求证：|b|≤1
（2）若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),当x属于[-1,1]时,|f(x)|≤1（1）求证：|b|≤1（2）若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式
(1) |f(-1)|=|a-b+c|=|-a+b-c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1
从而
-1≤-a+b-c≤1
-1≤a+b+c≤1
两式相加,得
-2≤2b≤2,-1≤b≤1,
即|b|≤1
(2)f(0)=c=-1,f(1)=a+b+c=1,
所以 a+b=2,从而 a=2-b≥1 ①
又 x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1,
从而 f(1)=1是区间[-1,1]上的最大值,f(0)=-1是最小值,于是x=0是增减性的分界点,
即 x=0是对称轴,从而 b=0,a=2
f(x)=2x²-1
1）由题意，
-1=
故|b|<=1
2) f(0)=c=-1
f(1)=a+b+c=a+b-1=1,得：a+b=2,得：b=2-a
f(-1)=a-b+c=a-(2-a)-1=2...
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1）由题意，
-1=
故|b|<=1
2) f(0)=c=-1
f(1)=a+b+c=a+b-1=1,得：a+b=2,得：b=2-a
f(-1)=a-b+c=a-(2-a)-1=2a-3
由-1=<2a-3<=1,得：1=
f(-1/n)=a/n^2-2/n+a/n-1>=-1,
a>=2/(1+1/n),n趋于无穷时，所以有a>=2
故得：a=2
所以f(x)=2x^2-1
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