作业帮抛物线y=-x^2/2与过点M（0,-1）的直线l交于A,B两点,o为原点,若OAHE OB的斜率之和为1,求直线L的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 00:29:21
抛物线y=-x^2/2与过点M（0,-1）的直线l交于A,B两点,o为原点,若OAHE OB的斜率之和为1,求直线L的方程
抛物线y=-x^2/2与过点M（0,-1）的直线l交于A,B两点,o为原点,若OAHE OB的斜率之和为1,求直线L的方程
抛物线y=-x^2/2与过点M（0,-1）的直线l交于A,B两点,o为原点,若OAHE OB的斜率之和为1,求直线L的方程
抛物线y=-x^2/2与过点M（0,-1）的直线l交于A,B两点,o为原点,若OAHE OB的斜率之和为1,求直线L的方程
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回答：
设直线方程为y-(-1)=k(x-0)
亦即y=kx-1(1)
A(x1,y1)B(x2,y2)
kOA+kOB=y1-0/x1-0+y2-0/x2-0=x1y2+x2y1/x1x2=2kx1x2-(x1+x2)/x1x2（3）
y=-x^2/2(2)
连立（1）（2）两个式子,可以得到
x^2+2kx-2=0
由韦达定理可知
x1+x2=-b/a=-2k
x1x2=-2
带入（3）,并整理可得k=1
所以直线L方程为y=x-1
由题意，
（1）若直线L的斜率不存在，则不符合题意，所以直线存在斜率。
（2）设直线的斜率为k，
（1）若k＝0 ，A，B两点坐标为（根2，－1） （－根2，－1）
kOA=-根2/2 kOB=根2/2 相加和为0，不和题意
（2）k不为0 ，直线L的方程可设为 kx－y－1＝0
联立直线方程与抛物线方程，
kx－y－1＝0 <...
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由题意，
（1）若直线L的斜率不存在，则不符合题意，所以直线存在斜率。
（2）设直线的斜率为k，
（1）若k＝0 ，A，B两点坐标为（根2，－1） （－根2，－1）
kOA=-根2/2 kOB=根2/2 相加和为0，不和题意
（2）k不为0 ，直线L的方程可设为 kx－y－1＝0
联立直线方程与抛物线方程，
kx－y－1＝0
y=-x^2/2
可得 x^2＋2kx－2＝0
kOA＋kOB＝ yA/xA +yB/xB =1
= (yAxB+yBxA)/xAxB
xAxB= -2
yAxB+yBxA= 2kxAxB-（xA＋xB）＝－2×2＋2k ＝－4＋2k
即： 2－k ＝1
k= 1
L的方程为 x－y－1＝0
前面关于斜率的讨论虽然繁琐，但却是不可缺少的步骤，关于这类求方程的问题，基本思路就是先讨论斜率（除非题目中告诉斜率的范围），然后联立方程
求解。
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