已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)(1)若函数f(x)在(1,正无穷)上是减函数,求实数a的最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 06:29:16
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)(1)若函数f(x)在(1,正无穷)上是减函数,求实数a的最小值.

已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)(1)若函数f(x)在(1,正无穷)上是减函数,求实数a的最小值.
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)
(1)若函数f(x)在(1,正无穷)上是减函数,求实数a的最小值.

已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)(1)若函数f(x)在(1,正无穷)上是减函数,求实数a的最小值.
f(x)=x/lnx-ax
f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²-a=1/lnx-(1/lnx)²-a
令f'(x)<0,得a>1/lnx-(1/lnx)²对x∈(1,+∞)恒成立.
令1/lnx=t,则t∈(0,+∞),a>t-t².
令h(t)=t-t²,显然h(t)在t=1/2时取最大值1/4,此时x=e².
综上,x=e²时,a取最小值1/4.